テイラーの定理
\(\displaystyle f(x)=f(a)+f^{(1)}(a)(x-a)+\cdots\frac{f^{n-1}(a)}{(n-1)!}(x-a)^{n-1}+R_n(x)\)
ただし
\(\displaystyle R_n(x)=\frac{f^{(n)}(c_x)}{n!}(x-a)^n\) （剰余項）
\(a\leq c_x\leq x\)
テイラー級数
点 a を含む実数の開区間 I ⊆ R 上で無限階微分可能な関数 f ∈ C∞(I) が与えられたとき、べき級数
\({\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}\)
を関数 f の点 a まわりのテイラー級数という。
k 次のテイラー多項式
\({\displaystyle P_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f”(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}\)
マクローリン展開
a = 0 における以下のような展開
\({\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}}\)
をマクローリン展開と呼ぶ。