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量子井戸(quantum well)

電子の移動方向が束縛された状態のこと。

境界条件

$x=0$ の点で　$\phi (0)=0$
$x=L$ の点で　$\phi (L)=0$

$$\phi (x)=(\frac{2}{L}{)}^{\frac{1}{2}}\sin (\frac{n\pi }{L}x)$$

$$P_r=|\phi (x){|}^2=(\frac{2}{L}){\sin }^2(\frac{n\pi }{L}x)$$

$$E_n=\frac{{\pi }^2{\hslash }^2}{2m{L}^2}\cdot n^2$$

3次元の場合

$$\phi (x,y,z)=(\frac{2}{L}{)}^{\frac{3}{2}}\cdot \sin (\frac{n_x\pi }{L}x)\cdot \sin (\frac{n_y\pi }{L}y)\cdot \sin (\frac{n_z\pi }{L}z)$$

$$E_{n_x,n_y,n_z}=\frac{{\hslash }^2}{2m}(\frac{\pi }{L}{)}^2(n_x^2+n_y^2+n_z^2)$$

最大のエネルギー値Eをフェルミエネルギーという