微分積分学の第一基本定理
関数 \(f\) が区間 \(I\) 上で連続ならば、任意の定数 \(a \in I\) 及び変数 \(x \in I\) に対して、\(f\) の不定積分
$$F(x) := \int_a^x f(t) dt$$
は \(x\) に関して微分可能で、
$$\frac{d}{dx} F(x) = f(x)$$
が成り立つ。すなわち、\(F\) は \(f\) の原始関数である。
微分積分学の第二基本定理
区間 \(I\) 上で微分可能な関数 \(F\) について、その導関数 \(f=\frac{dF}{dx}\) が積分可能であるとき、任意の \(a, b\in I\) に対して
$$\int_a^b f(x) dx = F(b) – F(a)$$
が成り立つ。
置換積分
$$\int_{g(a)}^{g(b)} f(x) dx = \int_a^b f(g(t))g'(t) dt$$
部分積分
$$\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b – \int_a^b u'(x)v(x) dx$$
偶奇性
\(f(x)\) は奇関数の時、
$$\int_{-a}^a f(x) dx = 0$$
\(f(x)\) は偶関数の時、
$$\int_{-a}^a f(x) dx = 2\int_0^a f(x) dx$$
周期性
$$\int_a^{a + T} f(x) dx = \int_0^T f(x) dx$$
他の結論
結論１
$$\int_0^{\frac{\pi}{2}} sin^n x dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} cos^n x dx = \begin{cases} \frac{n – 1}{n} \cdot \frac{n – 3}{n – 2} \cdots \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} ,\quad \text{\(n\) は正偶数} \\ \frac{n – 1}{n} \cdot \frac{n – 3}{n – 2} \cdots \frac{2}{3} , \quad \text{\(n\) は１より大きい奇数}\end{cases} $$
結論２
$$\int_0^\pi xf(sinx) dx = \frac{\pi}{2} \int_0^\pi f(sinx) dx \quad \text{ ( \( f(x) \) は連続 ) }$$
結論３
幾何学的について \( a > 0 \) の時、
$$\int_0^a \sqrt{a^2 – x^2} dx = \frac{\pi a^2}{4}$$
$$\int_0^a \sqrt{2ax – x^2} dx = \frac{\pi a^2}{4}$$
$$\int_0^{2a} \sqrt{2ax – x^2} dx = \frac{\pi a^2}{2}$$