量子井戸(quantum well)
電子の移動方向が束縛された状態のこと。
境界条件
\(x=0\) の点で \(φ(0)=0\)
\(x=L\) の点で \(φ(L)=0\)
$$\varphi (x)=\Big(\frac{2}{L}\Big)^{\frac{1}{2}}\sin\Big(\frac{n\pi}{L}x\Big)$$
$$P_r=|\varphi (x)|^2=\Big(\frac{2}{L}\Big)\sin^2\Big(\frac{n\pi}{L}x\Big)$$
$$E_n=\frac{\pi^2\hslash^2}{2mL^2}\cdotp n^2$$
3次元の場合
$$\varphi (x,y,z)=\Big(\frac{2}{L}\Big)^\frac{3}{2}\cdotp\sin \Big(\frac{n_x\pi}{L}x\Big)\cdotp\sin \Big(\frac{n_y\pi}{L}y\Big)\cdotp\sin \Big(\frac{n_z\pi}{L}z\Big)$$
$$E_{n_x,n_y,n_z}=\frac{\hslash ^2}{2m}\Big(\frac{\pi}{L}\Big)^2(n_x^2+n_y^2+n_z^2)$$
最大のエネルギー値Eをフェルミエネルギーという